3.10. Понятие о стереографических проекциях. Преобразование проекций.

Стереографическая проекция - особый случай центрального или перспективного проектирования полусферы на плоскость, когда картинная плоскость К пересекает центр сферы, а точка зрения р’ лежит на поверхности сферы, являясь полюсом.

Точки M, М₁ , L и Р верхней полусферы в стереографической проекции на плоскость К проектируются соответственно точками m,m₁,l и 0. Тонка М₂ нижней полусферы проектируется точкой m₂ выходящей за круговое сечение сферы картинной плоскостью.

Стереографические проекции обладают следующими свойствами:

- все точки полусферы изображаются внутри круга стереографических проекций I03CB;

- углы между дугами больших кругов на сфере проектируются на плоскость без искажений;

- окружности дуг кругов сферы изображаются кругами или прямыми линиями - кругами бесконечно большого радиуса

 Стереографическая сетка есть стереографическая проекция системы параллелей меридианов полусферы на картинную плоскость.

В геолого-маркшейдерском деле применяют меридиональную и полярную сетки.

Меридиональная стереографическая сетка есть стереографическая проекция параллелей и меридианов полу­сферы на плоскость меридиана, совмещенную с горизонталь­ной плоскостью. Точка зрения находится на экваторе и является «полюсом» относительно дуги меридиана. Меридианы и параллели на сетке изображаются дугами разных радиусов.

Полярная стереографическая сетка есть проекция параллелей и меридианов на плоскость экватора, когда точкой зрения является полюс. Параллели на сетке изображаются концентрическими окружностями, а меридианы - радиальными прямыми

С помощью полярной стереографической сетки удобно наносить точки по элементам залегания прямых, проводить статистическую обработку массовых замеров элементов залегания трещин горных пород и полезных ископаемых, выявлять системы трещин и их средние элементы, но неудобно строить плоскости выявленных систем трещин и определять углы между плоскостями, плоскостью и прямой, между прямыми.

Переход от стереографической проекции к изображению плоскостей в плане. В стереографической проекции по элементам залегания построены две плоскости Р и Q. ОТ -линия их пересечения. Отсчет от точки С до точки D по часовой стрелке равен азимуту α’ этой линии в сторону восстания. Совместив точку D с горизонтальным диаметром сетки и отложив угол от точки D до точки Т, получают угол наклона линии пересечения δ' . Отложив от точки Т перпендикуляр и проведя дугу меридиана, получают двугранный угол между плоскостями, равный дуге AВ.

Затем, задавшись масштабом и сечением (через 10 м), определяют по углу δ' заложение l’, градуируют прямую ОТ. Точке О при этом придают условную или истинную отметку. Через полученные точки параллельно диаметрам ОР и 0Q проводят горизонтали плоскостей, получают план плоскостей в проекциях с числовыми отметками.

Чтобы найти угол падения плоскостей в профильном сечении, по линии KL, совмещают эту линию с  горизонтальным диаметром сетки и от периферии к центру от точек К и L отсчитывают до дуг плоскостей число градусов, которое равно искомым углам δ_q' и δ_p'